이 강좌에서는 \( a > 0 \)이고 \( a \neq 1 \)일 때 지수함수 \( a^x \)의 도함수에 대한 완전한 증명을 제공합니다. 또한 연쇄 법칙을 사용하여 합성 지수함수 \( a^{u(x)} \)에 대한 공식을 유도하고 풀이된 예제를 제공합니다.
\( a^x \)의 도함수 증명
다음과 같이 둡니다:
\[ y = a^x, \qquad a > 0, \; a \neq 1 \]양변의 자연로그를 취합니다:
\[ \ln y = \ln(a^x) \]로그 항등식 \( \ln(a^x) = x \ln a \)를 사용하면 다음을 얻습니다:
\[ \ln y = x \ln a \]\( x \)에 대하여 양변을 미분합니다:
\[ \frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}(x \ln a) \]좌변에 연쇄 법칙을 적용합니다:
\[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln a \]양변에 \( y \)를 곱합니다:
\[ \frac{dy}{dx} = y \ln a \]\( y = a^x \)를 대입합니다:
공식:
\[ \frac{d}{dx}\left(a^x\right) = (\ln a)\,a^x \]
합성함수 \( y = a^{u(x)} \)의 도함수
\( u = u(x) \)라고 합니다. 연쇄 법칙에 의해:
\[ \frac{d}{dx}\left(a^{u(x)}\right) = \frac{d(a^u)}{du} \frac{du}{dx} \]앞서 구한 결과를 사용합니다:
\[ \frac{d(a^u)}{du} = (\ln a)a^u \]따라서:
연쇄 법칙 공식:
\[ \frac{d}{dx}\left(a^{u(x)}\right) = (\ln a)\,a^{u(x)}\,\frac{du}{dx} \]
풀이가 포함된 예제
풀이 예제: 합성 지수함수 미분하기
다음 함수의 도함수를 구하세요:
- \( f(x) = 2^{-x^4+5x-4} \)
- \( g(x) = 3^{\sqrt{x^4+2x}} \)
- \( h(x) = 5^{\frac{2x}{3x+2}} \)
풀이:
-
\( u(x) = -x^4 + 5x - 4 \)라고 합니다. 그러면 \( \frac{du}{dx} = -4x^3 + 5 \)입니다.
공식을 적용합니다: \[ f'(x) = (\ln 2)\,2^{-x^4+5x-4}(-4x^3+5) \] -
\( u(x) = \sqrt{x^4+2x} \)라고 합니다. 그러면 \( \frac{du}{dx} = \frac{4x^3+2}{2\sqrt{x^4+2x}} = \frac{2x^3+1}{\sqrt{x^4+2x}} \)입니다.
공식을 적용합니다: \[ g'(x) = (\ln 3)\,3^{\sqrt{x^4+2x}}\frac{2x^3+1}{\sqrt{x^4+2x}} \] - \( u(x) = \frac{2x}{3x+2} \)라고 합니다. 몫의 미분법을 사용합니다: \[ \frac{du}{dx} = \frac{2(3x+2) - 2x(3)}{(3x+2)^2} = \frac{6x+4-6x}{(3x+2)^2} = \frac{4}{(3x+2)^2} \] 공식을 적용합니다: \[ h'(x) = (\ln 5)\,5^{\frac{2x}{3x+2}}\frac{4}{(3x+2)^2} \]